p . -sous-groupe de Sylow de | {\displaystyle \langle Q_{1},Q_{2}\rangle } Si P {\displaystyle p} ( Désignons par E lâensemble des p-sous-groupes maximaux de G et montrons que les hypothèses sur E du point a) sont satisfaites. p p Indication : on peut utiliser le problème 10. Exercice 1. {\displaystyle p} Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le … Algèbre Théorie des groupes Cours & exercice corrigés écrit par Anne CORTELLA, éditeur VUIBERT, livre neuf année 2011, isbn 9782311002775. ( ( 1 Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et P1 un p-Sylow de H . On trouve dans la littérature de langue française[2] l'expression « p-sous-groupe p-clos » d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de p. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos » revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. p N -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les ) Du fait que Q contient g-1Pg, il résulte que gQg-1 contient P. Mais gQg-1 est un p-sous-groupe de G, donc, par maximalité de P, gQg-1 = P, d'où Q = g-1Pg, ce qui, comme on l'a vu, prouve que tout conjugué d'un p-sous-groupe maximal de G est lui aussi un p-sous-groupe maximal de G, autrement dit tout conjugué d'un élément de E appartient à E. Cela prouve que E satisfait à la condition 1° du point a). Soit G un groupe fini, soit D'après le théorème de Lagrange, pb divise |G| = pam, donc b ⤠a. p G {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}} ∪ C G Bien sûr, ces exercices sont corrigés de façon très détaillée. , cela résulte du problème 10, point b). P 2 Q -sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Cessons de supposer P normal dans G, mais supposons H normal dans G. D'après le point a), il existe un élément g de G tel que (gPg-1)â H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Puisque H est normal dans G, x ⦠g-1 x g définit un automorphisme de H; d'autre part, l'image d'un p-sous-groupe de Sylow de H par un automorphisme de H est clairement un p-sous-groupe de Sylow de H. Donc l'image de (gPg-1)â H par x ⦠g-1 x g, c'est-à dire P â g-1 H g = P â H, est un p-sous-groupe de Sylow de H. Voici une autre démonstration dans le cas où H est normal dans G. D'après la formule du produit, nous avons l'égalité entre indices. Appliquer cela à l'isomorphisme | N Notons le K . , donc, d'après la formule du produit, P i Prouver que si P est un p-sous-groupe maximal de G, si x est un élément de G dont lâordre est une puissance de p, si x normalise P, alors x appartient à P. Puisque x normalise P, le sous-groupe
normalise P, donc P est un sous-groupe de G. D'après la formule du produit, le nombre d'éléments de P divise le produit des ordres de et de P, donc est une puissance de p, donc P est un p-sous-groupe de G. Par maximalité de P, on doit avoir P = P, donc x appartient à P, comme annoncé. Indication H Correction H [002202] Exercice 14 2. Déterminer les sous-groupes de Sylow de S 3. {\displaystyle \vert G\vert .} | Nous avons donc prouvé que, Il reste à prouver la réciproque, à savoir que, D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un 3 févr. G Q N p G {\displaystyle C_{G}(Q).} Soit p un nombre premier. 2 Morphismes de groupes Définition 2.1 Soient G et G0 deux groupes. Vous vous aiderez du polycopié, (qui se trouve aussi ici) du cours de Marc Troyanov correspondant aux exercices -sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de H ⋂ p Exercices de Barbara Tumpach, relecture de François Lescure. i Les classifications des groupes de petits ordres et des groupes simples servent de motivation tout au long du cours. -sous-groupe de Sylow de H, ce qui prouve la thèse (3). un nombre premier, soit Q un L'auteur précise, que de difficulté variée, beaucoup d'énoncés sont des "classiques" et représentent "les questions essentielles que chaque enseignant espère voir maîtrisées par ses étudiants". Soient p et q deux nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre pq. G On peut utiliser la démonstration de McKay : faire opérer le groupe Z/pZ par « rotation » sur lâensemble des p-uplets (x1, ... , xp) d'éléments de G tels que x1 ... xp = 1.). Il résulte donc du point a) que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo p. d) Soient G un groupe fini et p un diviseur premier de lâordre de G. Prouver le théorème de Cauchy, à savoir que G comprend au moins un élément d'ordre p. (Indication. ( Puisque Q est un p-sous-groupe de Sylow de G et que tout p-sous-groupe de Sylow de G est maximal parmi les p-sous-groupes de G, n'est donc pas un p-sous-groupe de G. b) Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, p un nombre premier. normalise Q, donc Q -sous-groupe de G. On suppose que Q est normal dans chaque = Exercice3.Groupes d’ordre 6.Montrer de façon élémentaire (aucun argument sophistiqué au-delà du ... unp-Sylow. P -sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que les Remarque. {\displaystyle p} {\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}} i {\displaystyle p} ) {\displaystyle p} p a) Soient Q un i {\displaystyle N_{G}(Q)} Exercice11. ( 1 p Les congruences obtenues dans ce cas pour chaque valeur possible de i ne sont pas intéressantes, puisqu'on connaît alors précisément le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G, mais elles n'en sont pas moins correctes. {\displaystyle p} Q Q (2018) 103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. 1 de G engendré par Donc pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout ⋂ 1 D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo q et divise p. Ce nombre ne peut pas être égal à p, car p, étant < q, n'est pas congru à 1 modulo q. Donc le nombre des q-sous-groupes de Sylow de … Ainsi, W est normal dans P et dans gPg-1, donc dans le sous-groupe de G quâils engendrent, soit H. Il est clair que P et gPg-1 sont des sous-groupes de Sylow de H, donc ils sont conjugués dans H, autrement dit il existe un élément h de H tel que hgPg-1h-1 = P. Alors Un lemme du chapitre théorique dit que si un p-groupe fini opère sur un ensemble fini X, le nombre de points fixes de cette opération est congru modulo p au cardinal de X. Il résulte donc de ce qui précède que le cardinal r de lâensemble F des conjugués de V dans G est congru à 1 modulo p. Supposons maintenant que, par absurde, il existe un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G. Nous avons déjà noté que lâensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G, donc nous pouvons faire opérer W sur F par conjugaison. La seule possibilité est n=1. et de Z(G) divisent {\displaystyle C_{G}(Q)} | (On verra plus loin que les p-sous-groupes maximaux de G sont ses p-sous-groupes de Sylow, définis comme les sous-groupes de G dont lâordre est la plus grande puissance de p divisant |G|.) Supposons la condition b) satisfaite et prouvons c). φ (a) Montrer que G admet 6 5-Sylow, et que l’action de conjugaison sur ses 5-Sylow définit un morphisme injectif a : G !S {\displaystyle p} Structure de groupe 3 existe h 2 G tel que x ˘ ah.On a alors gx ˘ g(ah) ˘ (ga)h ˘ ah ˘ x, ce qui prouve que g est un neutre à gauche. g , soit P l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Tout conjugué de P est un p-sous-groupe de Sylow de G, donc, vu l'hypothèse c), est égal à P. Donc P est distingué. (On a d'ailleurs prouvé ce fait dans la théorie.) G Barre l'intrus : 4/ Donne l'infinitif des verbes suivants et indique à quel groupe ils i , {\displaystyle C_{G}(Q)} est l'unique p-sous-groupe de Sylow de , Chaque ⟨ {\displaystyle Q_{1}} Cela prouve que 1° entraîne 2°. = et divise le plus grand facteur de Q >> {\displaystyle p} ( b) Faux. P {\displaystyle p} D'autre part (par exemple dâaprès le troisième théorème d'isomorphisme, ou encore simplement dâaprès la relation [A:B] = |A|/|B|, vraie pour tout groupe fini A et tout sous-groupe B de A), l'indice de PH/H dans G/H est égal à [G:PH]. P {\displaystyle p} Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pm. P GROUPES FINIS ET THEOREMES DE SYLOW Exercice 1. {\displaystyle p} {\displaystyle p} , Q p Posons |G| = pam, où m nâest pas divisible par p. Prouvons dâabord que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G. Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G contenu dans un p-sous-groupe Q de G. Il s'agit de prouver que P = Q. Q Q (Burnside[3]). {\displaystyle p} 2 i {\displaystyle P_{1}} ( = -sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo {\displaystyle p} et -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les Q . Si est un diviseur de , montrer que l’ordre de est le quotient de par . | ) Désignons par A lâensemble des p-uplets (x0, ... , xp-1) d'éléments de G tels que x0 ... xp-1 = 1. normalise p P P {\displaystyle \vert G\vert } {\displaystyle p} i g ( sont contenus dans un même P p de H). c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque ... CHAPITRE 3 • ACTIONS DE GROUPES - GROUPES DE SYLOW 59 3.1 Action d’un groupe sur un ensemble 59 3.2 Les théorèmes de Sylow 71 3.3 Produits semi-directs 85 3.4 D’autres groupes finis 97 3.5 Problèmes 106. ), La démonstration est presque identique à celle du point a). p (Il suffit d'ailleurs de considérer un p-sous-groupe de G dont lâordre est le plus grand possible.) Appelons p-sous-groupe maximal de G tout élément maximal de lâensemble des p-sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. Supposons que U et W sont conjugués dans G et prouvons quâils le sont dans NG(P), ce qui est évidemment l'essentiel. (D'après les théorèmes de Sylow, b est un nombre naturel.) = {\displaystyle N_{G}(Q).} Exemples et applications. Par définition des p-sous-groupes de Sylow, P est d'ordre pa, donc, puisque P est contenu dans Q, lâordre pa de P divise lâordre de Q. Puisque Q est un p-groupe, Q est donc d'ordre pb, avec a ⤠b. de G est égal à PQ. ) < P Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes : 1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ; 2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K. Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo p. (Indication. {\displaystyle p} G G | est égal à , alors le sous-groupe , on voit que les conditions 1°, 2° et 4° sont équivalentes, donc les conditions 1° à 4° sont équivalentes. G N a p 1 {\displaystyle 0\leq i\leq m} {\displaystyle \vert \vert \cdot \vert P\vert } H En effet, si P et Q sont deux différents p-sous-groupes de Sylow de H, alors, d'après le point a), n'est pas un p-groupe, donc P et Q ne sont pas contenus dans un même p-sous-groupe de Sylow de G, donc f(P) et f(Q) sont distincts, ce qui prouve que f est injective. L'énoncé de ce problème nous servira à prouver que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes. Exemples 2.2 - Si H est un sous-groupe de G, alors l'inclusion i : H → G définie par i(h) = Exercices corrigés -Groupes : complément Exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau licence L3. Comme noté dans un précédent problème, cela entraîne que G a un sous-groupe normal d'ordre q et n'est donc pas simple. | ∈ ⋂ N , Soient H et K deux p-sous-groupes maximaux de G tels que H normalise K; il s'agit de prouver que H = K. Dire que H normalise K revient à dire que tout élément de H normalise K. Comme lâordre de tout élément de H est une puissance de p, il résulte du point b) que H est contenu dans K. Par maximalité de H, on a donc H = K, comme annoncé. -sous-groupes de Sylow de G, donc (Un isomorphisme d'un groupe sur un autre transforme les sous-groupes normaux du premier en les sous-groupes normaux du second. 1 a Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2. p i Rappeler pourquoi AutZ=qZ ’Z=(q 1)Z. N G Comme les 11-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux, cela signifie que l'unique 11-Sylow est distingué, ce qui contredit la simplicité de G. B.A. Puisque Q2, ... , Qs sont tous distincts de P, il résulte des hypothèses de l'énoncé que, pour tout i ⥠2, lâordre de P â Qi divise pm-i, donc [P : P â Qi], égal à -sous-groupe de Sylow de G contenu dans 3) Supposons qu’il existe un seul q-Sylow de G . ( P Q P (2017) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. | Si (x0, ... , xp-1) est un tel p-uplet, le p-uplet (x1, x2, ... , xp-1, x0) en est un aussi. 1 . | p G On considµere le sous-ensemble suivant de G: NH:= fn:h; n 2 N;h 2 Hg: (1) Monter que NH est un sous-groupe de G. Comme N et H sont des sous-groupes de G, le neutre 1 de … , i {\displaystyle p} b Tout Solution. se centralisent, alors ( -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les Si i a Pour prouver que [Démonstration de Wielandt , c.f. G Perrin C.2] {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} Q 2 ⟩ -sous-groupe de Sylow de contient Q. Puisque Q est normal dans a Un p-groupe est un groupe d’ordre une puissance ... 1Cela signifie que tous les sous-groupes de stabilisateurs sont triviaux. Calculs dans les groupes symétriques.Écrire la décomposition en produit de cycles ... Corrigés Solutiondel’exercice1 OnnoteOlecentredupolygone. Applications. Si un élément Vi de F était point fixe pour cette opération, W normaliserait Vi, donc, par hypothèse sur E, W et Vi seraient égaux, ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle W nâest pas un conjugué de V. L'opération de W sur F n'a donc pas d'orbite ponctuelle. sont contenus dans un même est divisible par a est un . ( -sous-groupe de Sylow de G. Cela montre que 3° entraîne 1°. {\displaystyle P_{0}} {\displaystyle p} {\displaystyle Q_{1}} 1 ) 5.4 Exercices 6 Actions de groupes 6.1 Définitions 6.2 Applications à la théorie des groupes 6.3 Dénombrements d'objets coloriés 6.4 Théorème de Sylow 6.5 Exercices 7 Groupes de matrices et groupes d'isométries de l'espace euclidien 7.1 Groupes linéaires 7.2 Groupes orthogonaux et unitaires 7.3 Groupes d'isométries de l'espace euclidie 1 C N {\displaystyle \varphi (P),} Posons Q1 = P et choisissons un système Q2, ... , Qs de représentants des orbites non ponctuelles. 1 {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} de {\displaystyle \vert N_{G}(Q)\vert } N contient Q. | 1 Soit Q un | p {\displaystyle p} ≤ . est une puissance de Un {\displaystyle p} ⋂ -sous-groupe de Sylow de H. Il reste à prouver la réciproque, à savoir que, Puisque H contient 1 Le sous-groupe de G engendré par x normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par x est lâensemble P. Le cardinal de cet ensemble divise divise p divisant Q {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} (le centre normalise tout sous-groupe), donc lâordre de Z(G) divise lui aussi b Dire que x stabilise Q signifie que xQx-1 = Q, autrement dit que x normalise Q. Comme x a pour ordre une puissance de p (parce quâil appartient à P), il appartient à Q dâaprès le point a). Q -sous-groupe de G, donc, d'après les théorèmes de Sylow, 1 Puisque, par hypothèse, un des deux sous-groupes P et Q normalise l'autre, le sous-groupe . -sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des 1 ( Mots-clés libres : Sous-groupe , Groupes , Théorème de Sylow , Sylow , Exo7 Structure : … p {\displaystyle p} i On se servira du point b) dans un exercice sur le chapitre des groupes simples d'ordre 168. G p {\displaystyle p} {\displaystyle Q_{1}} Nous avons donc bien prouvé que -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens) les conditions 1°, 2° et 3° sont équivalentes. x {\displaystyle N_{G}(P)} ) Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo c) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise lâordre de G. (Donc pm est lâordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que, pour un certain entier naturel i ⤠m, l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours d'ordre ⤠pm-i. i {\displaystyle p} ) , Remarque. {\displaystyle b\ \vert \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}\vert } {\displaystyle p} p , donc P contient Q. b) Soit R un G p Ressources de mathématiques. x ⟨ ⋂ -groupe, il résulte du problème 10, point b), que Q est contenu dans tout {\displaystyle Q_{2}} Q {\displaystyle \langle P_{1},\ldots ,P_{r}\rangle } P 1 {\displaystyle p} {\displaystyle \vert G\vert } ( Q . -sous-groupe de Sylow de {\displaystyle p} 3. b) Soient G un groupe fini et p un nombre premier. {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}} D'après le lemme rappelé plus haut, le cardinal r de F est divisible par p. Cela contredit notre précédent résultat, selon lequel r est congru à 1 modulo p. Nous avons donc prouvé que E est égal à lâensemble F des conjugués de V et que le cardinal de F, autrement dit de E, est congru à 1 modulo p. Cela démontre l'énoncé. Par exemple, P n'est pas contenu dans Q, donc le sous-groupe de G contient Q strictement. D'après la première partie de l'énoncé, PH/H, autrement dit de G. D'après (1), Tout p-sous-groupe de Sylow de H est un p-sous-groupe de G, donc est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G. Nous pouvons donc définir une application f de Sylp(H) dans Sylp(G) telle que, pour tout élément P de Sylp(H), f(P) soit un p-sous-groupe de Sylow de G contenant P. Une telle application f est forcément injective. . 0 Si G est un groupe fini, -sous-groupe de G. a) Prouver que les {\displaystyle p} G {\displaystyle Q_{2}} -sous-groupe de Sylow de H. Cela montre que tout a , donc, d'après le problème 10, point b), il est contenu dans tout Montrer que l'intersection d'un p-Sylow de G avec un q -Sylow de G est triviale. -sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Prouver que les , autrement dit p est un | Tu devrais essayer de trouver quelques exercices corrigés sur le calcul de noyaux de morphismes pour t'entraîner un peu ! | ( a) tout p-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G; ) Comme H est normal dans G, HP est un sous-groupe de G, donc le second membre de (1) divise [G:P] et n'est donc pas divisible par p. Il en est donc de même du premier membre de (1) : D'autre part, H â P, étant sous-groupe de P, est un p-groupe et donc un p-sous-groupe de H. Joint à (2), cela prouve que H â P est un p-sous-groupe de Sylow de H. c) On ajoute aux hypothèses générales que H est normal dans G. Prouver que PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H et que tout p-sous-groupe de Sylow de G/H est de la forme QH/H pour un p-sous-groupe de Sylow Q de G. D'après la formule du produit (ou le second théorème d'isomorphisme), lâordre de PH/H est égal à lâordre de P/ (H â P), donc divise lâordre de P, donc PH/H est un p-groupe. G ⋂ Q est égale à la plus grande puissance de Feuille d’exercices n 4 : théorèmes de Sylow Les exercices qui suivent ont pour but d’établir les théorèmes de Sylow : Définition 1 Soit p un nombre premier. d) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise lâordre de G. (Donc pm est lâordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que les p-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux, c'est-à -dire que l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours réduite à l'élément neutre. N ) Dès lors, puisque Q est un 1 | {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} {\displaystyle Q_{1}} Prouver que pour tout élément Q de Syl(p, G), le stabilisateur de Q est P â Q. Soit Q un élément de Syl(P, G). {\displaystyle p} 1 {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}} p 1 -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les Prouvons la seconde assertion de l'énoncé. 2 Q ( D'après le lemme rappelé dans la solution de la question a, le nombre des points fixes de cette opération est congru modulo p au cardinal de A. Il est clair que le cardinal de A est la (p-1)-ième puissance de lâordre de G : à chaque (p-1)-uplet (x0, ... , xp-2) d'éléments de G correspond un seul élément de A de la forme (x0, ... , xp-2, xp-1), xp-1 étant défini de manière unique par la condition x0 ... xp-1 = 1. p Q . {\displaystyle N_{G}(Q)} groupes monogènes exercices corrigés : Prépa CAPES UPMC 2008 Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny Lundi 3 novembre 2008 Groupes monogènes, groupes symétriques Groupes monogènes et cycliques Exercice 1 On dit qu’un groupe est monogène s’il peut être engendré par un seul élément. Q … N G Donc, D'autre part, puisque les p-sous-groupes de Sylow de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que le cardinal de cette classe est a, l'indice de chaque NG(Pi) dans G est a, autrement dit, Puisque Il est clair que Z(G) est contenu dans Notons e l’élément neutre. ⋂ N (Indication : utiliser le point b) et l'équation aux classes.). de H). -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens. Soit Q' un p-sous-groupe de Sylow de G/H; il s'agit de prouver la, Choisissons un p-sous-groupe de Sylow de G, par exemple le P de l'énoncé. N | Soit par exemple p < q. L'ensemble des p-sous-groupes de G nâest pas vide (il comprend 1), donc, comme tout ensemble ordonné fini non vide, il a au moins un élément maximal. = Par exemple d'après la formule du produit, il en résulte que l'ordre de Comme au point b), choisissons arbitrairement un p-sous-groupe de Sylow P de G et faisons-le opérer sur Syl(p, G) par conjugaison. N P | ( {\displaystyle hg\in N_{G}(P)} x P En théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G.Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de … Q 1 . Exercices ?? Ainsi, E satisfait aux hypothèses du point a). tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe de S n (théorème de CAYLEY). {\displaystyle \vert G\vert } P {\displaystyle P_{1}} ⟨ qui divise Q Donc
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